Question

17．如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD．
（1）求证：BF∥平面CDE；
（2）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值；
（3）线段EC 上是否存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF？若存在，求出$\frac{EM}{EC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AF∥DE，得AF∥平面CDE，同理：AB∥平面CDE，由此能证明平面ABF∥平面CDE，从而得到BF∥平面CDE．
（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，求出平面BDF与平面CDE的法向量，利用夹角公式，即可求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值；
（3）分类讨论，利用平面BDM⊥平面BDF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AF∥DE，AF?平面CDE，DE?平面CDE，
∴AF∥平面CDE，
同理：AB∥平面CDE，又AF∩AB=A
∴平面ABF∥平面CDE
又BF?平面ABF，
∴BF∥平面CDE；
（2）解：∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，正方形ADEF与梯形ABCD交于AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADEF，
∵DE?平面ADEF，
∴CD⊥ED，
∵ADEF为正方形，
∴AD⊥DE，
∵AD⊥CD，
∴以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，则

设AD=1，则D（0，0，0），B（1，1，0），F（1，0，1），C（0，2，0），E（0，0，1），
取平面CDE的一个法向量$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），
设平面BDF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为θ，则cosθ=cos＜$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）解：若M与C重合，则平面BDM（C）的一个法向量为$\overrightarrow{{m}_{0}}$=（0，0，1），由上知平面BDF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），则$\overrightarrow{{m}_{0}}$•$\overrightarrow{n}$=-1≠0，此时平面BDM⊥平面BDF不成立；
若M与C不重合，设$\frac{EM}{EC}$=λ（0≤λ≤1），则M（0，2λ，1-λ），

设平面BDM的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{2λb+（1-λ）c=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{2λ}{1-λ}$），
∵平面BDM⊥平面BDF，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1+1-$\frac{2λ}{1-λ}$=0，∴λ=$\frac{1}{2}$∈[0，1]，
∴线段EC 上存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF，$\frac{EM}{EC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是中档题，考查直线与平面平行、平面与平面垂直，考查平面BDF与平面CDE所成锐二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，考查向量法的运用，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．