Question

10．证明f（x）=$\sqrt{x}$在定义域内是增函数．

Answer 1

分析 求出定义域为[0，+∞），运用定义作差判断：设0≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{x}_{1}}$$-\sqrt{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$，主要是得出f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．

解答 证明：∵f（x）=$\sqrt{x}$在定义域为[0，+∞）
∴设0≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{x}_{1}}$$-\sqrt{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$，
∵0≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，$\sqrt{{x}_{1}}$$+\sqrt{{x}_{2}}$＞0，
所以$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
得出：f（x₁）＜f（x₂）
∴根据函数的单调性的定义得出：f（x）=$\sqrt{x}$在定义域为[0，+∞）单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性的定义，作差判断，关键是分解因式，判断符合，难度不大，属于容易题．