Question

3．已知a，b∈R，圆C₁：x²+y²-2x+4y-b²+5=0与圆C₂：x²+y²-2（a-b）x-2ay+2a²+b²-2ab-9=0交于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=0，试分别求a，b的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出两圆的圆心和半径，由两圆相交的定义可得a，b的不等式，再由条件结合两点的距离公式和等腰三角形的性质，即可得到C₁C₂经过原点，即3a=2b，再由二次不等式的解法即可得到a，b的范围．

解答 解：圆C₁：x²+y²-2x+4y-b²+5=0即为（x-1）²+（y+2）²=b²，
即有圆心C₁为（1，-2），半径为|b|，
圆C₂：x²+y²-2（a-b）x-2ay+2a²+b²-2ab-9=0即为（x-（a-b））²+（y-a）²=9，
即有圆心C₂为（a-b，a），半径为3，
由题意可得|3-|b||＜$\sqrt{（a-b-1）^{2}+（a+2）^{2}}$＜3+|b|，①
由$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=0，即为x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
即有|OA|=|OB|，
由于C₁C₂垂直平分AB，即有C₁C₂经过原点，
即为-2=$\frac{a}{a-b}$，即3a=2b，
则①可化为（3-|b|）²＜$\frac{5}{9}$（3+b）²＜（3+|b|）²，
解得$\frac{21-3\sqrt{5}}{2}$＜b＜$\frac{21+3\sqrt{5}}{2}$，
即有7-$\sqrt{5}$＜a＜7$+\sqrt{5}$．
故a，b的取值范围分别为（7-$\sqrt{5}$，7$+\sqrt{5}$）
和（$\frac{21-3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{21+3\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查圆与圆的位置关系：相交，主要考查两圆相交相交弦被圆心连线垂直平分的性质，同时考查直线斜率的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．