Question

12．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（Ⅰ） 请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角F-BE-A的正弦值．

Answer 1

分析 以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，0，1），C$（1，\sqrt{3}，0）$．
（I）点F应是线段CE的中点．设F是线段CE的中点，则点F的坐标为$F（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$，$\overrightarrow{BF}$=$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，可得$\overrightarrow{BF}$∥与平面xoy平行，即可证明．
（II） 设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，而平面AEB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），利用$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$，设二面角F-BE-A的平面角为θ，则sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$．

解答 解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，0，1），C$（1，\sqrt{3}，0）$．
（I）点F应是线段CE的中点，下面证明：
设F是线段CE的中点，则点F的坐标为$F（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$，∴$\overrightarrow{BF}$=$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，
∴$\overrightarrow{BF}$∥与平面xoy平行，
又BF?平面ACD，
∴BF∥平面ACD．
（II） 设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{CB}$=$（1，-\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{CE}$=$（-1，-\sqrt{3}，2）$．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+z=0}\\{-x-\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，
不妨设y=$\sqrt{3}$，解得x=1，z=2，即$\overrightarrow{n}$=$（1，\sqrt{3}，2）$，
而平面AEB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
设二面角F-BE-A的平面角为θ，则sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴所求角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力．