Question

14．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，求证：a＜v＜$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 设甲地到乙地的距离为s．可得他往返甲乙两地的平均速度为v，再根据基本不等式得到v＜$\sqrt{ab}$和v＞a，问题得以证明．

解答 解：设甲地到乙地的距离为s．
则他往返甲乙两地的平均速度为v=$\frac{2s}{\frac{s}{a}+\frac{s}{b}}$=$\frac{2ab}{a+b}$，
∵0＜a＜b
∴a+b＞2$\sqrt{ab}$＞0，
∴$\frac{2ab}{a+b}$＜$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，
∴v＜$\sqrt{ab}$．
∵$\frac{2b}{a+b}$＞1．
∴$\frac{2ab}{a+b}$＞a．
∴v＞a，
∴a＜v＜$\sqrt{ab}$．

点评 本题考查了路程与速度时间之间的关系、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题