Question

2．在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面AC，且PA=1．若BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ．则a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，2）
• C． （2，+∞）
• D． [2，4]

Answer 1

分析 由已知PA⊥平面AC，得到PA⊥DQ，结合PQ⊥DQ，得到DQ⊥平面PAQ，所以AQ⊥DQ，将问题转化为求以AD为直径的圆与边BC有两个交点的a的范围．

解答 解：如图所示，若PQ⊥DQ，又有PA⊥平面AC，得到PA⊥DQ，
则有DQ⊥平面PAQ，所以AQ⊥DQ，
则“BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ”就转化为“BC边上存在两个点Q使得AQ⊥DQ”，即以AD为直径的圆与边BC有两个交点，其中AB=1，BC=a（a＞0），
所以$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2．
故选：C．

点评 本题实质考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是将“若使BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ”转化为“求以AD为直径的圆与边BC有两个交点”．