Question

17．已知函数f（x）=log_a（x+1）+log_a（3-x）（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）的最小值为-4，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，可得函数f（x）的定义域为（-1，3）．令f（x）=log_a（x+1）（3-x）=0，可得（x+1）（3-x）=1，解出并经过验证是否满足条件即可．
（2）f（x）=log_a（x+1）（3-x）=$lo{g}_{a}[-（x-1）^{2}+4]$，利用二次函数的单调性与对数函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为（-1，3）．
令f（x）=log_a（x+1）（3-x）=0，
∴（x+1）（3-x）=1，化为x²-2x-2=0，解得x=$1±\sqrt{2}$，经过验证满足条件，
∴函数f（x）的零点是$1±\sqrt{2}$．
（2）f（x）=log_a（x+1）（3-x）=$lo{g}_{a}[-（x-1）^{2}+4]$，
由二次函数的单调性可知：y=-（x-1）²+4的最大值为4，
而0＜a＜1），∴函数f（x）的最小值为log_a4=-4，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性、对数函数的运算法则及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．