Question

19．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且$\frac{cosC}{cosA}$=$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$．
（1）求角A的大小；
（2）设点M为BC的中点，若角B=$\frac{π}{6}$，且AM=$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{cosC}{cosA}$=$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$，利用正弦定理可得：$\frac{cosC}{cosA}=\frac{2sinB-\sqrt{3}sinC}{\sqrt{3}sinA}$，化简利用两角和差的正弦公式、三角形内角和定理、诱导公式即可得出．
（2）设BC=a，则AC=a，取AB的中点D，连接CD．则BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，可得AB=$\sqrt{3}$a．在△ABM中，由余弦定理可得AM²=BM²+AB²-2BM•ABcosB，解出a，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{cosC}{cosA}$=$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$，如图所示，
由正弦定理可得：$\frac{cosC}{cosA}=\frac{2sinB-\sqrt{3}sinC}{\sqrt{3}sinA}$，
化为$\sqrt{3}$（sinAcosC+cosAsinC）=2sinBcosA，
∴$\sqrt{3}sin（A+C）$=2sinBcosA，
∴$\sqrt{3}$sinB=2sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{6}$．
（2）设BC=a，则AC=a，取AB的中点D，连接CD．
则BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，∴AB=$\sqrt{3}$a．
在△ABM中，AM²=BM²+AB²-2BM•ABcosB，
∴7=$\frac{1}{4}{a}^{2}$+3a²-2×$\frac{1}{2}a×\sqrt{3}a×cos\frac{π}{6}$，
化为${a}^{2}=\frac{14}{5}$，解得a=$\frac{\sqrt{70}}{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}sin\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×\frac{14}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．