Question

9．已知数列{a_n}满足：对任意的正整数n，2n-1≤a_n≤2n．
（1）若a₁，a₂，a₃是等差数列，且a₁=1，求公差d的取值范围；
（2）若a₁，a₂，a₃是等差数列，求公差d的最大值，并给出一个d的最大值时相应的等差数列a₁，a₂，a₃；
（3）若数列{a_n}满足递推式a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n（n∈N^*），求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 本题（1）利用a₁，a₂，a₃是等差数列，得到首项与公差的关系式，再将a₁=1代入，即可得到公差d的取值范围；（2）利用a₁，a₂，a₃是等差数列，得到首项与公差的关系式，再利用对任意的正整数n，2n-1≤a_n≤2n，得到首项、公差满足的条件，利用不等式的性质或者线性规划，可得到公差d的最大值，
则可出一个d的最大值时相应的等差数列a₁，a₂，a₃；（3）利用递推式a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n（n∈N^*），得到数列的通项公式，再根据2n-1≤a_n≤2n，得到通项满足的关系式，根据恒成立的意义，求出a₁的取值范围．

解答 解：（1）∵三个数a₁，a₂，a₃成等差数列，a₁=1，公差为d，
∴a₂=a₁+d=1+d，a₃=a₁+2d=1+2d．
∵对任意的正整数n，2n-1≤a_n≤2n，
∴取n=2，则3≤a₂≤4，
取n=3，则5≤a₃≤6，
∴3≤1+d≤4，5≤1+2d≤6，
∴2$≤d≤\frac{5}{2}$．
∴公差d的取值范围2$≤d≤\frac{5}{2}$．
（2））∵三个数a₁，a₂，a₃成等差数列，公差为d，
∴a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d．
∵对任意的正整数n，2n-1≤a_n≤2n，
∴取n=1，则1≤a₁≤2，
取n=2，则3≤a₂≤4，
取n=3，则5≤a₃≤6，
∴3≤a₁+d≤4，
5≤a₁+2d≤6，
∴3-a₁≤d≤4-a₁，
5-a₁≤2d≤6-a₁，
∴2≤d≤$\frac{5}{2}$．
∴公差d的最大值为$\frac{5}{2}$，
此时等差数列a₁，a₂，a₃分别为：1，$\frac{7}{2}$，6．
（3）∵数列{a_n}满足递推式a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{2n+1}=\frac{{a}_{n}}{2n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{2n-1}=\frac{{a}_{1}}{1}$，
∴a_n=（2n-1）a₁．
∵对任意的正整数n，2n-1≤a_n≤2n，
∴2n-1≤（2n-1）a₁≤2n，
∴$1≤{a}_{1}≤\frac{2n}{2n-1}$．
∵$\frac{2n}{2n-1}=1+\frac{1}{2n-1}$关于正整数n单调递减，
∴$1+\frac{1}{2n-1}＞1$，
∴1≤a₁≤1，
∴a₁=1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、不等式的基本性质、线性规划、构造数列求通项，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．