Question

16．如图AB为圆O直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB，垂足为C，PC交圆O于D点，PA交圆O于E点，BE交PC于F点
（Ⅰ）求证：∠PFE=∠PAB；
（Ⅱ）求证：CD²=CF•CP．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在Rt△ACP中，∠PAC=90°-∠P；在Rt△PEF中，∠PFE=90°-∠P，即可证明：∠PFE=∠PAB；
（Ⅱ）证明△BCF∽△PCA，即可证明CD²=CF•CP．

解答 证明：（Ⅰ）AB为直径，E在圆O上，BE⊥AE   
∵PC⊥AB，
∴∠PAC=90°-∠P，∠PFE=90°-∠P，
∴∠PAB=∠PFE-----------（5分）
（Ⅱ）连结AD、BD则AD⊥BD   Rt△ABD中   CD²=AC•CB
由（Ⅰ）得△BCF∽△PCA，∴$\frac{BC}{PC}=\frac{CF}{AC}$，
∴CD²=BC•AC=CF•CP，
∴CD²=CF•CP-----------（10分）

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判定，属于中档题．