Question

3．已知函数f（x）=asinωx+b（a＜0，ω＞0）的最大值和最小值分别为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，且周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设A、B、C、D为△ABC的三个内角，若cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，求sinA．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=asinωx+b（a＜0，ω＞0）的最大值和最小值分别为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，且周期为π．可得-a+b=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，a+b=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2π}{ω}$=π．解出即可．
（2）由cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B∈（0，π），可得$B=\frac{π}{6}$．由f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，可得$-\frac{\sqrt{3}}{2}sinC+\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，化为sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可解出C，再利用三角形内角和定理即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=asinωx+b（a＜0，ω＞0）的最大值和最小值分别为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，且周期为π．
∴-a+b=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，a+b=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2π}{ω}$=π．
解得$b=\frac{1}{2}$，a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，ω=2，
∴f（x）=$-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}$．
（2）∵cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{6}$．
∵f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}sinC+\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，化为sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$C=\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
∴A=π-B-C=$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{6}$．
∴sinA=1或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、三角形的内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．