Question

2．已知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是两个互相垂直的单位向量，若$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，根据已知条件，容易说明点C在以AB为直径的圆上，所以|$\overrightarrow{OC}$|的最大值，即|$\overrightarrow{c}$|的最大值便是该圆的直径，而直径容易得到为$\sqrt{2}$．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$；

∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=0$；
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$；
∴AC⊥BC；
∴点C在以AB为直径的圆上；
∴OC为该圆直径时|$\overrightarrow{OC}$|最大，即$|\overrightarrow{c}|$最大；
∴$|\overrightarrow{c}|$最大为$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 考查单位向量的概念，两非零向量垂直的充要条件，以及向量减法的几何意义，直径所对的圆周角为直角．