Question

7．已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=2．
（1）求实数a，b的值；
（2）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）-2x²+m（x-1）的最小值为0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系即可求实数a，b的值；
（2）求函数的导数，利用函数的最小值，建立条件关系即可得到结论．

解答 解：（1）f′（x）=2ax-$\frac{b}{x}$（x＞0），
依题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2ax=2}\\{f（1）=2a-b=0}\end{array}\right.$
解得a=2，b=4；
（2）∵g（x）=f（x）-2x²+m（x-1）=m（x-1）-4ln x，x∈（0，1]，
∴g′（x）=m-$\frac{4}{x}$=$\frac{mx-4}{x}$，
①当m≤0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=0．
②当0＜m≤4时，g′（x）=$\frac{m（x-\frac{4}{m}）}{x}$≤0，∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=0．
③当m＞4时，g′（x）＜0在（0，$\frac{4}{m}$）上恒成 立，g′（x）＞0在（$\frac{4}{m}$，1]上恒成立，
∴g（x）在（0，$\frac{4}{m}$）上单调递减，在（$\frac{4}{m}$，1]上单调递增，
∴g（$\frac{4}{m}$）＜g（1）=0，
∴g（x）_min≠0．
综上 所述，存在m满足题意，其范围为（-∞，4]．

点评 本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性，最值与函数导数之间的关系，综合性较强，有一定的难度．