Question

13．已知函数f（x）=log₂$\frac{x}{1-x}$+1，a_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），n为正整数，则a₂₀₁₅=2014．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=log₂$\frac{x}{1-x}$+1，由f（x）+f（1-x）=2结合已知利用倒序相加法得答案．

解答 解：∵f（x）=log₂$\frac{x}{1-x}$+1，
∴$f（1-x）=lo{g}_{2}\frac{1-x}{1-（1-x）}+1$=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{x}+1$，
∴f（x）+f（1-x）=2，
又∵a_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
∴a₂₀₁₅=f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）
a₂₀₁₅=f（$\frac{2014}{2015}$）+f（$\frac{2013}{2015}$）…+f（$\frac{1}{2015}$）
将上述两式相加得2a₂₀₁₅=2×2014
∴a₂₀₁₅=2014
故答案为：2014．

点评 本题考查了对数的运算性质，考查了函数构造法，是中档题．