Question

3．已知函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+3y+2=0垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k值是6．

Answer 1

分析 求导数，根据导数的几何意义，结合函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值，从而可求f（x）解析式，模拟运行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=$\frac{6}{7}$时，满足条件S＞$\frac{5}{6}$，退出循环，输出k的值为6，从而得解．

解答 解：∵f（x）=x²-ax，
∴f′（x）=2x-a，
∴根据导数的几何意义，y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，
∵函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，
∴（2-a）×（-$\frac{1}{3}$）=-1，
∴a=-1，
∴f（x）=x²+x，从而模拟程序运行，可得
S=0，k=0
不满足条件S＞$\frac{5}{6}$，k=1，S=$\frac{1}{2}$
不满足条件S＞$\frac{5}{6}$，k=2，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$
不满足条件S＞$\frac{5}{6}$，k=3，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$
不满足条件S＞$\frac{5}{6}$，k=4，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$
不满足条件S＞$\frac{5}{6}$，k=5，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$
不满足条件S＞$\frac{5}{6}$，k=6，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$=$\frac{6}{7}$
满足条件S＞$\frac{5}{6}$，退出循环，输出k的值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，具体涉及到导数的几何意义，直线垂直的性质等知识点，还考查了程序框图和算法，考查了循环结构，属于基本知识的考查．