Question

15．设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-cos\frac{πx}{2}，x∈[0，1]\\ \frac{1}{x}，x∈（1，e]\end{array}\right.$（其中e为自然对数的底数），则y=f（x）的图象与直线y=0，x=e所围成图形的面积为2-$\frac{2}{π}$．

Answer 1

分析 分别作出f（x）的图象和直线x=e，由定积分知识可得，所求面积为${∫}_{0}^{1}（1-cos\frac{πx}{2}）dx$+${∫}_{1}^{e}\frac{1}{x}dx$，计算即可得到．

解答 解：作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-cos\frac{πx}{2}，x∈[0，1]}\\{\frac{1}{x}，x∈（1，e]}\end{array}\right.$的图象，
和直线x=e，如右图．
即有y=f（x）的图象与直线y=0，x=e所围成图形的面积
为${∫}_{0}^{1}（1-cos\frac{πx}{2}）dx$+${∫}_{1}^{e}\frac{1}{x}dx$=（x-$\frac{2}{π}$sin$\frac{πx}{2}$）|${\;}_{0}^{1}$+lnx|${\;}_{1}^{e}$
=1-$\frac{2}{π}$sin$\frac{π}{2}$-0+lne-ln1=2-$\frac{2}{π}$．
故答案为：2-$\frac{2}{π}$．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的图象和定积分的运用：求面积，考查运算能力，属于中档题．