Question

5．已知函数y=$\frac{{x}^{2}-ax+b}{{x}^{2}+x+1}$的值域为（1，2]，求a、b的值．

Answer 1

分析 先将原式化成整式，即（y-1）x²+（y+a）x+y-b=0．显然该方程在实数范围内有解，所以其判别式大于或等于零，则可得关于y的不等式，根据题意，该不等式的解集为（1，2]，则问题可解．

解答 解：由题意，要求函数y=$\frac{{x}^{2}-ax+b}{{x}^{2}+x+1}$的值域，
即（y-1）x²+（y+a）x+y-b=0在实数范围内有解，
所以（y+a）²-4（y-b）（y-1）≥0，则该不等式的解为（1，2]．
所以y=1，2为关于y的方程（y+a）²-4（y-b）（y-1）=0的解．
所以$\left\{\begin{array}{l}{（1+a）^{2}=0}\\{（2+a）^{2}-4（2-b）=0}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了利用判别式法求由二次式或一次式得到的函数值域的方法，考查了函数与方程、不等式之间的关系．