Question

18．若函数f（x）=（x-2）（x²+c）有极值0，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为-1或-5．

Answer 1

分析 由函数f（x）=（x-2）（x²+c）有极值0，求出零点x₀，得f′（x₀）=0，从而求得c的值，代入原函数求导即可求得f′（1）．

解答 解：∵函数f（x）=（x-2）（x²+c）有极值0，
先求出零点x₀，有f′（x₀）=0；
①当c＞0时，函数无极值，不满足题意；
②当c=0时，f（x）=x²（x-2），在x=0处有极值0，此时在x=1处切线斜率为f′（1）=-1；
③当c＜0时，零点有x₀=2，±$\sqrt{-c}$，代入f′（x₀）=0，
得到c=-4满足题意，此时f（x）=（x-2）（x²-4），在x=2处取得极值0，
f（x）在x=1处切线斜率为f′（1）=-5；
故答案为：-1或-5．

点评 本题考查了函数的极值点与导数的关系，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，是中档题．