Question

9．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=2f（x-2），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|-1，则当x∈[-9，0）∪（0，9]时，y=f（x）与$g（x）={log_{\frac{1}{3}}}|x|$的图象的交点的个数为16．

Answer 1

分析 由函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=2f（x-2），得y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x），
利用此条件作出函数y=f（x）与g（x）的图象，利用图象得到函数的交点个数即可．

解答 解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=2f（x-2），
∴y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|-1，
∵f（x）与g（x）都为偶函数，只看x＞0时的图象交点个数即可，
∴f（x）在区间[1，3]的图象是由函数f（x）在区间[-1，1]图象作振幅扩大2倍的变换，而f（x）在区间[3，5]的图象是由函数f（x）在区间[1，3]图象作振幅扩大2倍的变换，依此类推；
分别作出函数y=f（x）（x＞0）与g（x）=log₄x（x＞0）的图象如图：

由图象可知当x＞0时，y=f（x）与g（x）=log₄x的图象的交点个数为8个，
由偶函数的性质知共有16个交点．
故答案为：16．

点评 本题主要考查函数图象的交点个数问题，利用条件求出函数f（x）的图象，然后利用数形结合是解决本题的关键．