Question

17．已知f（x）的图象过点（1，1），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+3，数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3^n}n为正奇数\\ f（{a_n}）n为正偶数\end{array}$．
（Ⅰ）求f（n）关于n（n∈N^*）的表达式和数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=3na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得f（1）=1，f（n+1）-f（n）=3，利用等差数列的通项公式求得f（n）=3n-2；然后分n为正偶数和n为正奇数求得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n-1}-2，n为正奇数}\\{{3}^{n-1}，n为正偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=3na_n=$\left\{\begin{array}{l}{n•{3}^{n}-6n，n为正奇数}\\{n•{3}^{n}，n为正偶数}\end{array}\right.$，再分当n为正偶数时和当n为正奇数时分组后利用等差数列的前n项和及错位相减法求和得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：f（1）=1，f（n+1）-f（n）=3，
∴f（n）=1+3（n-1）=3n-2；
则当n为正偶数时，${a_n}={a_{（n-1）+1}}={3^{n-1}}$，
n为正奇数时，${a_n}={a_{（n-1）+1}}=f（{a_{n-1}}）=3{a_{n-1}}-2=3×{3^{n-2}}-2={3^{n-1}}-2$，
且n=1时，a₁=-1也适合上式，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n-1}-2，n为正奇数}\\{{3}^{n-1}，n为正偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=3na_n=$\left\{\begin{array}{l}{n•{3}^{n}-6n，n为正奇数}\\{n•{3}^{n}，n为正偶数}\end{array}\right.$，
①当n为正偶数时，
${S_n}=（1×{3^1}-6×1）+2×{3^2}+（3×{3^3}-6×3）+…+[3×{3^{n-1}}-6×（n-1）]+n×{3^n}$
=（1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）-6×[1+3+…+（n-1）]=${A_n}-6×\frac{{\frac{n}{2}×n}}{2}={A_n}-\frac{3}{2}{n^2}$，
其中${A_n}=1×{3^1}+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n×{3^n}$，
则$3{A_n}=1×{3^2}+2×{3^3}+3×{3^4}+…+n×{3^{n+1}}$，
两式相减得$-2{A_n}={3^1}+{3^2}+3×{3^3}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}$=$（\frac{1}{2}-n）•{3^{n+1}}-\frac{3}{2}$，
∴${A_n}=（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3^{n+1}}+\frac{3}{4}$，
∴当n为正偶数时，${S_n}=（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3^{n+1}}-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{4}$；
②当n为正奇数时，${S_n}={S_{n-1}}+{b_n}=（\frac{n-1}{2}-\frac{1}{4}）•{3^n}-\frac{3}{2}{（n-1）^2}+\frac{3}{4}+n•{3^n}-6n$
=$（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3^{n+1}}-\frac{3}{2}{n^2}-3n-\frac{3}{4}$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3}^{n+1}-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{3}{4}，n为正偶数}\\{（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3}^{n+1}-\frac{3}{2}{n}^{2}-3n-\frac{3}{4}，n为正奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了由递推式分类求数列通项公式的方法，训练了数列的分组求和、错位相减法求和等求和方法，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力，属难题．