Question

17．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C，四边形ACC₁A₁是矩形，CC₁=2BC=2，∠BCC₁=120°，M、N分别为AC，B₁C₁的中点．

（1）求证：MN∥平面ABB₁A₁；
（2）求点M到平面A₁BC₁的距离d．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁中点E，连接AE，NE，利用NE是中位线，M是AC中点，可得四边形AMNE是平行四边形，从而MN∥AE，即可证明MN∥平面ABB₁A₁；
（2）AC∥A₁C₁，知AC∥平面A₁BC₁，点M到平面A₁BC₁的距离即为点C到平面A₁BC₁的距离，在三角形BC₁C中，过点C作CF⊥BC₁交BC₁于F，求出CF，即可求点M到平面A₁BC₁的距离．

解答 （1）证明：取A₁B₁中点E，连接AE，NE-------（1分）
在△A₁B₁C₁中，NE是中位线，
所以$NE∥{A_1}{C_1}，NE=\frac{1}{2}{A_1}{C_1}$，
又AC∥A₁C₁，M是AC中点，所以$AM\underline{\underline{∥}}NE$，
所以四边形AMNE是平行四边形--------------（4分）
所以MN∥AE，
因为AE?平面ABB₁A₁，MN?平面ABB₁A₁，
所以MN∥平面ABB₁A₁--------------------------（5分）
（2）解：AC∥A₁C₁，知AC∥平面A₁BC₁，点M到平面A₁BC₁的距离即为点C到平面A₁BC₁的距离-------（6分）
在三角形BC₁C中，过点C作CF⊥BC₁交BC₁于F
∵平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C，交线为CC₁，A₁C₁⊥CC₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∵CF?平面BB₁C₁C，
∴A₁C₁⊥CF，
∵A₁C₁∩BC₁=C₁，
∴CF⊥平面A₁BC₁--------------------（8分）
由余弦定理：BC₁=$\sqrt{7}$，$\frac{1}{2}$BC•CC₁•sin∠BCC₁=$\frac{1}{2}$BC₁•CF，
代入数据，得CF=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴点M到平面A₁BC₁的距离d=$\frac{\sqrt{21}}{7}$-------------------------------------（12分）

点评 本题考查线面平行，考查点到平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．