Question

7．如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF=BF=BC=1，$DE=\sqrt{2}$，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合，点O为AC的中点，设面ABF与面CDE相交于直线l，
（Ⅰ）求证：l∥CE；
（Ⅱ）求证：OF⊥面ABE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得CE∥BF，由线面平行的判定定理得到CE与平面ABF平行，再由线面平行的性质定理得到l∥CE；
（Ⅱ）利用两个等腰直角三角形的边长相等，则斜边相等，得到BE与平面ACF的两条相交直线垂直，得到BE⊥平面ACF，由面面垂直的性质定理可得平面ACF⊥平面ABE，进一步只要判断OF与交线AG垂直即可．

解答 证明：（Ⅰ）$\left.\begin{array}{l}CE∥BF\\ CE?面ABF\\ BF?面ABF\end{array}\right\}⇒\left.\begin{array}{l}CE∥面ABF\\ CE?面ACE\\ 面ABF∩面ACE=l\end{array}\right\}⇒l∥CE$．…（6分）
（Ⅱ）∵AF=BF=1，并且AF⊥BF，
∴△ABF为等腰直角三角形，∴AB=AE=$\sqrt{2}$；
设正方形BCEF对角线交点为G，
∴$\left.\begin{array}{l}AG⊥BE\\ CF⊥BE\end{array}\right\}⇒\left.\begin{array}{l}BE⊥面ACF\\ BE?面ABE\end{array}\right\}⇒面ACF⊥面ABE，交线为AG$①
$\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}AF=EF=1\\ AE=\sqrt{2}\end{array}\right\}⇒\left.\begin{array}{l}AF⊥FE\\ AF⊥BF\end{array}\right\}⇒AF⊥面BCEF\end{array}$，
在Rt△AFC中，连接OG，得$OG∥AF且OG=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}$，
且$\left.\begin{array}{l}OF=OC⇒∠OFC=∠OCF=θ，tanθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ Rt△AFG中，tan∠FAG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒∠FGA=\frac{π}{2}-θ\end{array}\right\}$$⇒∠FGA+∠OFG=\frac{π}{2}⇒OF⊥AG$②
结合①②得，即 OF⊥面ABE．　…（13分）

点评 本题考查了线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的运用，属于中档题．