Question

16．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：（x-2）²+y²=1的两条切线，切点为A，B，|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过M点斜率为k的直线l与抛物线E交于H、G两点．是否存在这样的k，使得抛物线E上总存在点Q（x₀，y₀）满足QH⊥QG，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得M（-$\frac{p}{2}$，0），C（2，0），由圆的对称性求出|CR|、|CM|，利用抛物线的定义求出p，得出抛物线方程；
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀），H（x₁，y₁），G（x₂，y₂），直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求两根之和与两根之积，由斜率公式表示出QH与QG的斜率，由QH⊥QG，利用斜率之积是-1，得到关于y₀的一元二次方程，利用△≥0求出k的范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得M（-$\frac{p}{2}$，0），C（2，0）．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，
|AR|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．于是|CR|=$\sqrt{|AC|2-|AR|2}$=$\frac{1}{3}$，所以|CM|=$\frac{|AC|}{sin∠AMC}$=$\frac{|AC|}{sin∠CAR}$=3，
即2+$\frac{p}{2}$=3，p=2．故抛物线E的方程为y²=4x．------------（5分）
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀），H（x₁，y₁），G（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$得ky²-4y+4k=0，由$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{16-16k＞0}\end{array}\right.$得-1＜k＜1且k≠0．
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4}{k}$，y₁y₂=4，${k_{QH}}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{\frac{{{y_0}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=\frac{4}{{{y_0}+{y_1}}}$，同理${k_{QG}}=\frac{4}{{{y_0}+{y_2}}}$
由QH⊥QG得$\frac{4}{{y}_{0}+{y}_{1}}•\frac{4}{{y}_{0}+{y}_{2}}=-1$，即：${{y}_{0}}^{2}+{y}_{0}（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}=-16$，
∴${{y}_{0}}^{2}+\frac{4}{k}{y}_{0}+20=0$，$△=（\frac{4}{k}）^{2}-80≥0$，得$-\frac{\sqrt{5}}{5}≤k≤\frac{\sqrt{5}}{5}$且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得k的取值范围为[-$\frac{\sqrt{5}}{5}，0$）∪（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]------------（12分）

点评 本题主要考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．