Question

6．已知复数z₁、z₂满足z₁•$\overline{{z}_{2}}$≠0，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，求证：$\frac{{{z}_{1}}^{2}}{{{z}_{2}}^{2}}$＜0．

Answer 1

分析 通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数三角形式，然后证明即可．

解答 证明：|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，可知复数z₁、z₂对应的向量互相垂直，
即$\overrightarrow{{OZ}_{1}}⊥\overrightarrow{{OZ}_{2}}$，
设z₁=r₁${e}^{i{θ}_{1}}$，z₂=r₂${e}^{i{θ}_{2}}$，θ₁-θ₂=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∴$\frac{{{z}_{1}}^{2}}{{{z}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}{e}^{i•2（{θ}_{1}-{θ}_{2}）}$=$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}{e}^{i•（π+2kπ）}$，k∈Z
=$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}[cos（π+2kπ）+isin（π+2kπ）]$
=-$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}＜0$．

点评 本题考查复数的基本运算，判断复数的向量的垂直关系是解题的关键，考查计算能力．