Question

11．已知数列{x_n}，{y_n}，且x₁=3，x_n+1=$\frac{2{x}_{n}+1}{-{x}_{n}}$，则y_n=$\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}+1}$=$\frac{4n-3}{2}$．

Answer 1

分析 x₁=3，x_n+1=$\frac{2{x}_{n}+1}{-{x}_{n}}$，变形为x_n+1+1=-1-$\frac{1}{{x}_{n}}$=-$\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}}$，取倒数化为$\frac{1}{{x}_{n+1}+1}=-\frac{{x}_{n}+1-1}{{x}_{n}+1}$，可得$\frac{1}{{x}_{n+1}+1}-\frac{1}{{x}_{n}+1}$=-1，利用等差数列的通项公式可得x_n，即可得出．

解答 解：∵x₁=3，x_n+1=$\frac{2{x}_{n}+1}{-{x}_{n}}$，∴x_n+1+1=-1-$\frac{1}{{x}_{n}}$=-$\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}+1}=-\frac{{x}_{n}+1-1}{{x}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}+1}-\frac{1}{{x}_{n}+1}$=-1，
∴数列$\{\frac{1}{{x}_{n}+1}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{4}$，公差为-1，
∴$\frac{1}{{x}_{n}+1}=\frac{1}{4}-（n-1）=\frac{5-4n}{4}$，
∴x_n=$\frac{4n-1}{5-4n}$．
∴${y}_{n}=\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}+1}$=$\frac{\frac{4n-1}{5-4n}-1}{\frac{4n-1}{5-4n}+1}$=$\frac{4n-3}{2}$．
故答案为：$\frac{4n-3}{2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．