Question

3．已知数列{a_n}是正项等比数列，a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，则$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2015}}{{a}_{2012}+{a}_{2013}}$=$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设出等比数列的公比，结合a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列求得公比，再由$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2015}}{{a}_{2012}+{a}_{2013}}$=q²得答案．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，得a₃=a₁+2a₂，
即${a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}+2{a}_{1}q$，q²-2q-1=0，解得：$q=1-\sqrt{2}$（舍），q=1+$\sqrt{2}$．
∴$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2015}}{{a}_{2012}+{a}_{2013}}$=$\frac{{q}^{2}（{a}_{2012}+{a}_{2013}）}{{a}_{2012}+{a}_{2013}}={q}^{2}=（1+\sqrt{2}）^{2}$=$3+2\sqrt{2}$．
故答案为：$3+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．