Question

5．已知点F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P与点F₂关于直线y=$\frac{b}{a}$x对称，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入双曲线方程结合a²+b²=c²，由离心率公式解出e即得．

解答 解：过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y-0=-$\frac{a}{b}$（x-c），
联立渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x与y-0=-$\frac{a}{b}$（x-c），
解之可得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y=$\frac{ab}{c}$
故对称中心的点坐标为（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由中点坐标公式可得对称点的坐标为（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{2ab}{c}$），
将其代入双曲线的方程可得$\frac{（2{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{{a}^{2}{c}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}{c}^{2}}$=1，
结合a²+b²=c²，
化简可得c²=5a²，故可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．