Question

20．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x²+2；③$f（x）=\frac{2x}{{{x^2}-2x+5}}$；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．其中是“条件约束函数”的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 用“条件约束函数”的定义加以验证，对于①③④均可以找到常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，说明它们是F函数，
而对于②，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意．

解答 解：对于①，f（x）=4x，易知ω=4符合题意，
①是“条件约束函数”，
对于②，用“条件约束函数”的定义不难发现：因为x→0时，|$\frac{f（x）}{x}$|→∞，
所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，
②不是“条件约束函数”，
对于③，因为|f（x）|=$\frac{2|x|}{{（x-1）}^{2}+4}$≤$\frac{1}{2}$|x|，
所以存在常数ω=$\frac{1}{2}$＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，
③是“条件约束函数”函数，
对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，
因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤4|x|成立，
存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意，
④是“条件约束函数”，
故选：C．

点评 本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题．题中“条件约束函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点我们不难解出．