Question

15．若两个正实数x，y满足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，且x+2y＞a²-2a恒成立，则实数a的取值范围是（-2，4）．

Answer 1

分析 原不等式恒成立可化为（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）＞a²-2a恒成立，由基本不等式可得x+2y≥8，故只需8＞a²-2a成立即可，解关于a的不等式可得实数a的取值范围．

解答 解：∵正实数x，y满足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，
∴x+2y=（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）=2+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+2=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8（当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$时，等号成立）
∵不等式x+2y＞a²-2a恒成立，即（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）＞a²-2a恒成立，
∴只需8＞a²-2a成立即可，
化简可得a²-2a-8＞0，解得-2＜a＜4，
∴实数a的取值范围是（-2，4）
故答案为：（-2，4）．

点评 本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题．