Question

7．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．

解答 解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴BC⊥AC，
取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，
∴平面DCA⊥平面ACB，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半径为1，
此时三棱锥外接球的体积：$\frac{4π}{3}×{1}^{3}$=$\frac{4π}{3}$．
故答案为：$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．