Question

10．设函数f（x）=e^x-ax，x∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞0；
（Ⅲ）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=2时的f（x），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出导数，求得单调区间，极小值也为最小值，判断它大于0，即可得证；
（Ⅲ）求出导数，令导数为0，可得极值点x=lna，比较a与lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比较，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，
f′（x）=e^x-2，
即有f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=e⁰-2=-1，
即有f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=-（x-0），
即为x+y-1=0；
（Ⅱ）证明：f′（x）=e^x-2，令f′（x）=0，解得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞n2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=ln2处f（x）取得极小值，也为最小值，且为e^ln2-2ln2=2-2ln2＞0，
即有f（x）＞0；
（Ⅲ）由于f（x）=e^x-ax，f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=0，解得x=lna＞0，
当a＞1，令M（a）=a-lna，M′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$＞0，
M（a）在（1，+∞）递增，又M（1）=1-ln1=1，M（a）=a-lna＞0，
即有a＞1，a＞lna，
当0＜x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）递减，
lna＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=lna处f（x）取得最小值；
f（0）=e⁰-0=1，f（a）=e^a-a²，
令h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1，
a＞1时，h′（a）=e^a-2a＞0，
h（1）=e-1-1=e-2＞0，h（a）=e^a-a²-1＞0，
当a＞1时，f（a）＞f（0），
则有当a＞1时，f（x）在[0，a]上的最大值为f（a）=e^a-a²．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，进而判断大小，考查运算化简能力，属于中档题．