Question

5．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=4x；
②f（x）=x²+2；
③f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-2x+5}$；
④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有f（x₁）-f（x₂）≤4|x₁-x₂|．
其中是“条件约束函数”的序号是①③④（写出符合条件的全部序号）．

Answer 1

分析 用F函数的定义加以验证，对于①③④⑤均可以找到常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，说明它们是“条件约束函数”．而对于②，当x→0时，|$\frac{f（x）}{x}$|→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意．

解答 解：对于①，f（x）=4x，易知存在ω=4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意；是“条件约束函数”．
对于②用F函数的定义不难发现：因为x→0时，|$\frac{f（x）}{x}$|→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，不符合题意，不是“条件约束函数”．
对于③，因为|f（x）|=$\frac{2\left|x\right|}{{x}^{2}-2x+5}$=$\frac{2\left|x\right|}{{（x-1）}^{2}+4}$≤$\frac{1}{2}$|x|，所以存在常数ω=$\frac{1}{2}$＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，③是“条件约束函数”．
对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|得到，
|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意．
是“条件约束函数”．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题．题中“条件约束函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点不难解出．