Question

15．已知${∫}_{-1}^{1}$（x³+ax+3a-b）dx=2a+6，且f（t）=${∫}_{0}^{t}$（x³+ax+3a-b）dx为偶函数，求a，b的值．

Answer 1

分析 先由${∫}_{-1}^{1}$（x³+ax+3a-b）dx=2a+6，得到2a-b=3，再由f（t）=${∫}_{0}^{t}$（x³+ax+3a-b）dx为偶函数，得出3a-b=0，联立方程组即可得到答案．

解答 解：∵${∫}_{-1}^{1}$（x³+ax+3a-b）dx=2a+6，
即（$\frac{1}{4}$x⁴+3ax-bx）|_-1¹=2a+6，
∴6a-2b=2a+6，即2a-b=3，①
又∵f（t）=${∫}_{0}^{t}$（x³+ax+3a-b）dx
=（$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{2}$ax²+3ax-bx）${|}_{0}^{t}$=$\frac{1}{4}$t⁴+$\frac{1}{2}$at²+3at-bt为偶函数，
∴3a-b=0，②
由①②得：a=-3，b=-9．

点评 本小题主要考查定积分、函数奇偶性的应用、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想，属于基础题．