Question

7．数列{a_n}的首项为a₁=2，前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}-1}$S_n-1+$\frac{n}{n+1}$（n≥2）
（1）证明：数列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+n+2}$，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）满足S_n=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}-1}$S_n-1+$\frac{n}{n+1}$（n≥2），变形$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出；再利用递推式即可得出a_n．
（2）利用“裂项求和”即可得出T_n．

解答 证明：（1）∵满足S_n=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}-1}$S_n-1+$\frac{n}{n+1}$（n≥2），
∴$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}$=1，
∴数列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差数列，首项为$\frac{2}{1}•{a}_{1}$=4，公差为1．
∴$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$=4+（n-1）=n+3，
∴S_n=$\frac{（n+3）n}{n+1}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{（n+3）n}{n+1}$-$\frac{（n-1）（n+2）}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n+2}{{n}^{2}+n}$=1+$\frac{2}{n（n+1）}$，
当n=1时也成立，
∴a_n=1+$\frac{2}{n（n+1）}$．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+n+2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和为T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
∴T_n＜1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．