Question

18．已知f（x）=xe^x-ax²-x．
（1）若f（x）在（-∞，-1]上递增，[-1，0]上递减，求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导f′（x）=e^x+xe^x-2ax-1，再由题意可得f′（-1）=e^-1-e^-1+2a-1=0，从而求得2a=1，从而化简f′（x）=e^x+xe^x-x-1=（x+1）（e^x-1），从而确定极小值点及极小值．
（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，从而化恒成立问题为x＞0时，恒有f（x）≥0；即a≤$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在x＞0时恒成立，从而令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，求导确定函数的单调性，再由洛必达法则求出$\underset{lim}{x→0}$g（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$e^x=1；从而求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=xe^x-ax²-x，
∴f′（x）=e^x+xe^x-2ax-1，
又∵f（x）在（-∞，-1]上递增，[-1，0]上递减，
∴f′（-1）=e^-1-e^-1+2a-1=0，
故2a=1，
故f′（x）=e^x+xe^x-x-1=（x+1）（e^x-1），
故f（x）在（-∞，-1]，[0，+∞）上递增，[-1，0]上递减；
故f（x）在x=0处取得极小值f（0）=0；
（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，
故x≥0时，恒有f（x）≥0可化为
x＞0时，恒有f（x）≥0；
即x＞0时，xe^x-ax²-x≥0恒成立，
即a≤$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在x＞0时恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
则g′（x）=$\frac{{xe}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=xe^x-e^x+1，
则h′（x）=xe^x＞0，
故h（x）在（0，+∞）上是增函数，
故h（x）＞h（0）=0，
故g′（x）=$\frac{{xe}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$＞0，
故g（x）在（0，+∞）上是增函数，
而$\underset{lim}{x→0}$g（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$e^x=1；
故a≤1．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了构造函数的思想应用及洛必达法则的应用，属于难题．