Question

8．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为12．

Answer 1

分析 由题意作出其平面区域，从而由线性规划可得a+$\frac{3}{2}$b=1；从而化简$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$）（a+$\frac{3}{2}$b）=6+$\frac{9b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$；从而利用基本不等式求解即可．

解答 解：由题意作出其平面区域，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$解得，x=4，y=6；
又∵a＞0，b＞0；
故当x=4，y=6时目标函数z=ax+by取得最大值，
即4a+6b=4；
即a+$\frac{3}{2}$b=1；
故$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$）（a+$\frac{3}{2}$b）
=3+3+$\frac{9b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$≥6+2×$\sqrt{\frac{9b}{2a}•\frac{2a}{b}}$=12；
（当且仅当a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$时，等号成立）；
故答案为：12．

点评 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．