Question

16．已知函数$f（x）=\sqrt{2}sinωx+mcosωx（ω＞0，m＞0）$的最小值为-2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和m的值；
（Ⅱ）若$f（\frac{θ}{2}）=\frac{6}{5}$，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，求$f（θ+\frac{π}{8}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用函数的周期求出函数的解析式．
（Ⅱ）利用上步结论，进一步利用函数的定义域求出函数的值．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=\sqrt{2}sinωx+mcosωx（ω＞0，m＞0）$
$f（x）=\sqrt{2+{m^2}}sin（ωx+ϕ）$，
所以$f{（x）_{min}}=-\sqrt{2+{m^2}}=-2$，
∴$m=\sqrt{2}$…（3分）
又由已知函数f（x）的最小正周期为π，
所以$T=\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2…（6分）
（Ⅱ）有（Ⅰ）得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$，
所以$f（\frac{θ}{2}）=2sin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{6}{5}$，
∴$sin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，∵$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴$θ+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{2}，π）$，
∴$cos（θ+\frac{π}{4}）=-\sqrt{1-{{sin}^2}（θ+\frac{π}{4}）}=-\frac{4}{5}$…（9分）
∴$sinθ=sin（θ+\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）=sin（θ+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}-cos（θ+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
∴$f（θ+\frac{π}{8}）=2sin[2（θ+\frac{π}{8}）+\frac{π}{4}]=2sin（2θ+\frac{π}{2}）=2cos2θ=2（1-2{sin^2}θ）$
=$2[1-2{（\frac{{7\sqrt{2}}}{10}）^2}]=-\frac{48}{25}$…（12分）

点评 本题考查的知识要点：利用正弦型函数的周期求函数的解析式，利用三角函数的定义域求函数的值，及相关的运算问题．