Question

6．已知数列{a_n}中，前m项依次构成首项为1，公差为-2的等差数列．第m+1项至第2m项依次构成首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，其中m≥3，m∈N^*．
（1）求a_m，a_2m
（2）若对任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n．设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_4m+3．

Answer 1

分析 （1）根据等差等比数列通项公式分段求出即可；
（2）结合a_n+2m=a_n把S_4m+3转化为2S_2m+a₁+a₂+a₃，然后结合等差数列和等比数列的前m项和得答案．

解答 解：（1）当1≤n≤m时，a_n=1+（n-1）（-2）=-2n+3；
当m+1≤n≤2m时，${a}_{n}=1•（\frac{1}{2}）^{n-m-1}$，
综上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3-2n，1≤n≤m}\\{（\frac{1}{2}）^{n-m-1}，m+1≤n≤2m}\end{array}\right.$，
∴${a}_{m}=3-2m；{a}_{2m}=（\frac{1}{2}）^{m-1}$；
（2）S_4m+3=S_4m+a_4m+1+a_4m+2+a_4m+3
=2S_2m+a₁+a₂+a₃=2[（a₁+a₂+…+a_m）+（a_m+1+a_m+2+…+a_2m）]+a₁+a₂+a₃
=$2[m+\frac{m（m-1）（-2）}{2}+\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{m}}）}{1-\frac{1}{2}}]$+（1-1-3）=$4m-2{m}^{2}-\frac{1}{{2}^{m-2}}+1$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是中档题．