Question

11．已知F₁，F₂分别是双曲线3x²-y²=3a²（a＞0）的左、右焦点，P是抛物线y²=8ax与双曲线的一个交点，若|PF₁|+|PF₂=12，则抛物线的准线方程为x=-2．

Answer 1

分析 确定双曲线的焦点坐标，结合题意，确定焦半径，利用双曲线的定义可解．

解答 解：由双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}=1$（a＞0）得c=2a
∴F₁（-2a，0），F₂（2a，0），
由抛物线方程y²=8ax，设F₂（2a，0）为抛物线的焦点，其准线为x=-2a，过F₁点
则有|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|+|PF₂|=12，
∴|PF₁|=6+a，|PF₂|=6-a，
又双曲线左准线为x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2}a$，离心率e=2
∴|PF₁|=2x_P+a=6+a，∴x_P=3
∴|PF₂|=x_P+2a=6-a，∴a=1
∴抛物线方程为y²=8x，
∴抛物线的准线方程为x=-2．
故答案为：x=-2．

点评 本题综合考查抛物线与双曲线的定义与性质，考查方程思想，解题的关键是灵活运用定义解题，并学会从方程到图形来沟通数与形之间的联系．