Question

19．定义：f₁（x）=f（x），当n≥2且n∈N^*时，f_n（x）=f（f_n-1（x）），对于函数f（x）定义域内的x₀，若存在正整数n是使得f_n（x₀）=x₀成立的最小正整数，则称n是点x₀的最小正周期，x₀称为f（x）的n-周期点．已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是②③⑤（写出你认为正确的所有命题的序号）
①0是函数f（x）的一个5-周期点； 
②3是点$\frac{1}{2}$的最小正周期；
③对于任意正整数n，都有${f_n}（\frac{2}{3}）=\frac{2}{3}$；
④若x₀是f（x）的一个2-周期点，则${x_0}∈（\frac{1}{2}，1]$
⑤若x₀是f（x）的一个2-周期点，则f（x₀）一点是f（x）的2-周期点．

Answer 1

分析 由图象可得函数的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，（0≤x≤\frac{1}{2}）}\\{-2x+2，（\frac{1}{2}≤x≤1）}\end{array}\right.$，再根据所给的定义解题

解答 解：由图象可得函数的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，（0≤x≤\frac{1}{2}）}\\{-2x+2，（\frac{1}{2}≤x≤1）}\end{array}\right.$，
①f₁（0）=f（0）=$\frac{1}{2}$，则f₂（0）=f（f₁（0））=f（f（0））=f（$\frac{1}{2}$）=1，f₃（0）=f（f₂（0））=f（1）=0，
f₄（0）=f（f₃（0））=f（0）=$\frac{1}{2}$，f₅（0）=f（f₄（0））=f（$\frac{1}{2}$）=1≠0，故0不是函数f（x）的一个5-周期点，①错误；
②f₁（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=1，则f₂（$\frac{1}{2}$）=f（f₁（$\frac{1}{2}$））=f（1）=0，f₃（$\frac{1}{2}$）=f（f₂（$\frac{1}{2}$））=f（0）=$\frac{1}{2}$，∴3是点$\frac{1}{2}$的最小正周期，故②正确；
③∵f（$\frac{2}{3}$）=-2×$\frac{2}{3}$+2=$\frac{2}{3}$，∴${f_n}（\frac{2}{3}）=\frac{2}{3}$；故③正确；
④若x₀是f（x）的一个2-周期点，则f₂（x₀）=f（f₁（x₀）），若$\frac{1}{2}$＜x₀≤1，则f₁（x₀）=-2x₀+2∈（1，2]，
则f（f₁（x₀））无意义，故④错误；
⑤若x₀是f（x）的一个2-周期点，则f₂（x₀）=x₀，∴f₂（x₀）=f（f₁（x₀））=f（f（x₀））=x₀，
∴f₂（f（x₀））=f（f₁（f（x₀）））=f（f（f（x₀）））=f（x₀），
∴f（x₀）是f（x）的2-周期点．故⑤正确；
综上②③⑤正确，
故答案为：②③⑤

点评 本题主要考查新定义的题目，解答的关键是读懂所给的定义，用定义解决．