Question

9．若a，b∈R₊，且a+b=1，求证：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．要求用两种方法证明：（1）分析法；（2）综合法．

Answer 1

分析 （1）把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止；（2）根据分析法，可得综合法．

解答 证明：（分析法）要证明$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2，
只要证明：a+b+1+2$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤4，
∵a+b=1，
只要证明：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤1，
∵$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤$\frac{a+\frac{1}{2}+b+\frac{1}{2}}{2}$=1，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤1，成立，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2；
（综合法）∵a，b∈R₊，且a+b=1，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤$\frac{a+\frac{1}{2}+b+\frac{1}{2}}{2}$=1，
∴a+b+1+2$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤4，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．

点评 本题主要考查用综合法（由因导果）证明不等式、分析法证（执果索因）明不等式，属于中档题．