Question

18．2008年北京成功的举办了举世瞩目的第29届夏季奥运会，现有一系列数a₁、a₂、a₃、…a_n，其中a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），今定义：若乘积a₁•a₂•a₃…a_k为整数，则将正整数k命名为“奥运吉祥数”，那么在区间[1，2009]内所有奥运吉祥数之和为2026．

Answer 1

分析 a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），利用对数的换底公式可得：乘积a₁•a₂•a₃…a_k=log₂（k+2），若乘积a₁•a₂•a₃…a_k为整数，则k+2=2ⁿ（n∈N^*），因此在区间[1，2009]内所有奥运吉祥数为：k=2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．即可得出．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
则乘积a₁•a₂•a₃…a_k=$\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}×$…×$\frac{lg（k+2）}{lg（k+1）}$=log₂（k+2），
若乘积a₁•a₂•a₃…a_k为整数，则k+2=2ⁿ（n∈N^*），
∴在区间[1，2009]内所有奥运吉祥数为：k=2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
因此在区间[1，2009]内所有奥运吉祥数之和为=2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2
=$\frac{4（{2}^{9}-1）}{2-1}$-2×9
=2026．
故答案为：2026．

点评 本题考查了对数的运算法则、换底公式、等差数列与等比数列的前n项和公式、新定义“奥运吉祥数”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．