Question

8．某研究性学习小组通过计算发现下列四个式子的结果均为同一常数：
sin²5°+sin²65°+sin²125°；
sin²10°+sin²70°+sin²130°；
sin²30°+sin²90°+sin²150°；
sin²45°+sin²105°+sin²165°．
请你根据上述某一表达式的结果，写出一般性命题并给予证明．

Answer 1

分析 利用给出的式子得出角度的关系，得出推理的恒等式，再利用三角函数公式展开证明即可．

解答 解：①sin²5°+sin²65°+sin²125°=sin²5°+sin²（60°+5°）+sin^2（120°+5°）
=sin²5°+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos5°$+\frac{1}{2}$sin5°）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos5°$+\frac{1}{2}$sin5°）²
=sin²5°+$\frac{1}{4}$sin²5°+$\frac{3}{4}$cos²5°+$\frac{1}{4}$sin²5°+$\frac{3}{4}$cos²5°=$\frac{3}{2}$（sin²5°+cos²5°）=$\frac{3}{2}$
②sin²10°+sin²70°+sin²130°=sin²10°+sin²（60°+10°）+sin^2（120°+10°）
=sin²10°+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos10°$+\frac{1}{2}$sin10°）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos10°$+\frac{1}{2}$sin10°）²
=sin²10°+$\frac{1}{4}$sin²10°+$\frac{3}{4}$cos²10°+$\frac{1}{4}$sin²10°+$\frac{3}{4}$cos²10°=$\frac{3}{2}$（sin²10°+cos²10°）=$\frac{3}{2}$
③sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{1}{4}$+1$+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$
④sin²45°+sin²105°+sin²165°=sin²45°+sin²（60°+45°）+sin^2（120°+45°）
=$\frac{1}{2}+$sin²75°+sin²15°=$\frac{1}{2}+$sin²75°+cos²75°=$\frac{1}{2}+$1=$\frac{3}{2}$
根据恒等式归纳得出：
sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=$\frac{3}{2}$，
证明：左边=sin²α°+sin²（60°+α）+sin^2（120°+α）
=sin²α+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα$+\frac{1}{2}$sinα）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα$+\frac{1}{2}$sinα）²
=sin²α+$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α+$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{2}$（sin²α+cos²α）=$\frac{3}{2}$

点评 本题靠考查了归纳推理的思想，三角函数恒等式的证明，关键是观察给出的式子的角度的关系，属于中档题．