Question

13．已知在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁a₂=2，a₃a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（2n-1）a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₁a₂=2，a₃a₄=32，∴q⁴=16，解得q=2，a₁=1．
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）×2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=1+2×2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-1-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴${T}_{n}=（2n-3）×{2}^{n}+3$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．