Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$+t图象中，对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，且当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，f（x）的最大值为1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间和对称轴．

Answer 1

分析 （1）首先利用函数的周期和函数在定义域内的最值求出函数的解析式．
（2）利用所求的解析式，进一步利用整体思想求出函数的单调区间和对称轴方程．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$+t图象中，对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，
则：$T=4×\frac{π}{4}=π$，
进一步利用：$T=\frac{2π}{2ω}$，
解得：ω=1．
所以函数的关系式转化成：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$+t，
当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，则：$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，
当x=$\frac{π}{3}$时，函数sin（2x-$\frac{π}{3}$）的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由于f（x）的最大值为1．
解得：t=-2．
所以函数的解析式为：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）得：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤$$2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得：$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤$$kπ+\frac{5π}{12}$
则函数的单调递增区间为：[$-\frac{π}{12}+kπ，kπ+\frac{5π}{12}$]（k∈Z）
令：$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$（k∈Z）
则对称轴方程为：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$（k∈Z）

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期求函数的解析式，及正弦型函数的性质的应用，单调性和对称轴方程的应用．