Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l的方程是x=4，点P是椭圆C上动点（不在x轴上），过点F₂作直线PF₂的垂线交直线l于点Q，当PF₁垂直x轴时，点Q的坐标是（4，4）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断点P运动时，直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得c=1，当PF₁⊥x轴时，点$P（-1，\frac{b^2}{a}）$，利用$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=0$，及其b²=a²-1，解出即可．
（II）设点P（x₀，y₀），代入椭圆方程可得${y}_{0}^{2}=3-\frac{3}{4}{x}_{0}^{2}$，设点Q（4，t），利用$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=0$，可得直线PQ的方程，代入椭圆方程，计算△与0比较即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得c=1，当PF₁⊥x轴时，点$P（-1，\frac{b^2}{a}）$，
由$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=0$，
∴$（-2）（4-1）+4\frac{b^2}{a}=0$，
∴2b²-3a=0，b²=a²-1，
∴2a²-3a-2=0，
解得a=2，$b=\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），
则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，化为${y}_{0}^{2}=3-\frac{3}{4}{x}_{0}^{2}$，
设点Q（4，t），
由$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=0$得：（x₀-1）（4-1）+y₀t=0，
∴$t=\frac{{-3（{x_0}-1）}}{y_0}$，
∴直线PQ的方程为：$\frac{{y+\frac{{3（{x_0}-1）}}{y_0}}}{{{y_0}+\frac{{3（{x_0}-1）}}{y_0}}}=\frac{x-4}{{{x_0}-4}}$，
即${y_0}y+3（{x_0}-1）=\frac{x-4}{{{x_0}-4}}[{y_0}^2+3（{x_0}-1）]$，
即${y_0}y+3（{x_0}-1）=\frac{x-4}{{{x_0}-4}}[3-\frac{3}{4}{x_0}^2+3（{x_0}-1）]$，
化简得：$\frac{{{x_0}x}}{4}+\frac{{{y_0}y}}{3}=1$，
代入椭圆方程得：$（4{y_0}^2+3{x_0}^2）{x^2}-24{x_0}x+48-16{y_0}^2=0$，
化简得：${x^2}-2{x_0}x+4-\frac{4}{3}{y_0}^2=0$，
判别式△=$16（\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}-1）=0$，
∴直线PQ与椭圆有一个公共点．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△与0 的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．