Question

17．已知f（x）是定义在R上的函数且f（x）+f（-x）=0．当x＞0时，f（x）=2x-x²．      
①求f（x）的解析式；
②当x∈[1，+∞）时，g（x）=f（x）；当x∈（-∞，1）时，g（x）=x²-mx+2m-3．g（x）在R上单调递减，求实数m的取值范围；
③是否存在正实数a，b，使得当x∈[a，b]时，h（x）=f（x），且h（x）的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，若存在，求出a，b；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 ①根据函数奇偶性的性质即可求f（x）的解析式；
②根据分段函数的表达式，结合一元二次函数的单调性即可求实数m的取值范围；
③利用一元二次函数的单调性，对a，b进行讨论即可得到结论．

解答 解：①由f（x）+f（-x）=0得f（-x）=-+f（x）．
则函数f（x）是奇函数，
则当x=0时，f（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-2x-x²=-f（x），
即f（x）=2x+x²，（x＜0），
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，}&{x≥0}\\{2x+{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$．
②当x∈[1，+∞）时，g（x）=f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，此时函数在[1，+∞）为减函数，
当x∈（-∞，1）时，g（x）=x²-mx+2m-3．
若g（x）在R上单调递减，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}≥1}\\{1-m+2m-3≥2-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m≥4}\end{array}\right.$，解得m≥4，
故实数m的取值范围是[4，+∞）；
③当x＞0时，h（x）=f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
则函数的对称轴为x=1，
若0＜a＜b≤1，则此时函数在（0，1]上为增函数，此时函数的最大值为1，
∵0＜a＜1，∴$\frac{1}{a}＞1$，则值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]不成立，
若0＜a＜1＜b，则此时函数的最大值为1，即$\frac{1}{a}$=1，解得a=1，不成立，
若1≤a＜b，则函数在[1，+∞）为减函数，则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=2a-{a}^{2}=\frac{1}{b}}\\{f（b）=2b-{b}^{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$
两式相乘得2-a=2-b，解得a=b，与a＜b矛盾，
故不存在正实数a，b使h（x）的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及分段函数的性质，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．