Question

20．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=$\frac{π}{3}$．
（1）若△ABC的面积等于$\sqrt{3}$，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求A的值．

Answer 1

分析 （1）c=2，C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²-ab，利用三角形面积计算公式$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，即ab=4．联立解出即可．
（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B-A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=$\frac{π}{2}$；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．

解答 解：（1）∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=a²+b²-ab，
∵$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，化为ab=4．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=4}\\{ab=4}\end{array}\right.$，解得a=2，b=2．
（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，
2sinBcosA=4sinAcosA，
当cosA=0时，解得A=$\frac{π}{2}$；
当cosA≠0时，sinB=2sinA，
由正弦定理可得：b=2a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=4}\\{b=2a}\end{array}\right.$，解得$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴b²=a²+c²，
∴$B=\frac{π}{2}$，
又$C=\frac{π}{3}$，∴$A=\frac{π}{6}$．
综上可得：A=$\frac{π}{2}$或$A=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．