Question

8．设函数$f（x）=2\sqrt{3}{cos^2}ωx+sin2ωx-\sqrt{3}$（其中ω＞0），且f（x）的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式、正弦函数的周期性求得ω的值．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得g（x）的增区间．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=2\sqrt{3}{cos^2}ωx+sin2ωx-\sqrt{3}$=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（其中ω＞0），
它的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=2π，∴ω=$\frac{1}{2}$，故f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数g（x）的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦函数的周期性和单调性，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．