Question

18．已知命题p：函数$y=\sqrt{{x^2}+ax+1}$的值域为[0，+∞），命题q：对任意的x∈R，不等式|x|-|x+a|≤1恒成立，若命题p∧（?q）为真命题，则实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 若命题p为真，则需满足x²+ax+1∈[0，+∞），所以便可得到△=a²-4≥0，所以|a|≥2．根据绝对值不等式，|x|-|x+a|≤|a|，所以命题q为真时|a|≤1，而能够判断p真，q假，所以便可求出|a|≥2，这便可求得a的取值范围．

解答 解：若函数y=$\sqrt{{x}^{2}+ax+1}$的值域为[0，+∞），则需x²+ax+1∈[0，+∞）；
∴△=a²-4≥0，|a|≥2；
若不等|x|-|x+a|≤1恒成立；
∵|x|-|x+a|≤|x-（x+a）|=|a|；
∴需|a|≤1；
若p∧（￢q）为真命题，则p真，q假；
而q假时，|a|＞1；
∴p真，q假成立时|a|≥2，即a≤-2，或a≥2；
∴实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，对二次函数的图象应比较熟练，含绝对值不等式|a|-|b|≤|a-b|的运用，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．